jueves, 29 de marzo de 2012

Hiperbola


Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
relación
dibujo

Elementos de la hipérbola

Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento FF segmento.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento segmento de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento segmento de longitud 2a.
Eje menor
Es el segmento segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones: rectas
Relación entre los semiejes
igualdad

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.
excentricidad
hipérbola
excentricidad
hipérbola
excentricidad
excentricidad
hipérbola
excentricidad
rectas
excentricidad

Ecuación reducida de la hipérbola

hipérbola
Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.
Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(−c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
relación
Esta expresión da lugar a:
igualdad
Realizando las operaciones y considerando que a, b y c, llegamos a:
ecuación
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).
ecuación
solución
solución

Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.
solución
solución
solución

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144.
solución
solución
solución
solución
solución
solución

Ecuación reducida de la hipérbola con los focos en el eje OY

hipérbola
F'(0, −c) y F(0, c)
La ecuación será:
ecuación
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).
ecuación
solución
solución

Ecuación de la hipérbola

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen

dibujo

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

ecuación

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

ecuación

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).
ecuación
solución
solución
solución

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen

dibujo

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+ c) y F'(x0, y0 − c). Y la ecuación de la hipérbola será:

ecuación

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
ecuación
Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).
ecuación
solución
solución
solución

Ecuación de la hipérbola equilátera

hipérbola equilátera
Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es:
ecuación
Las asíntotas tienen por ecuación:
rectarecta
Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.
La excentricidad es: excentricidad

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

hipérbola equiláterahipérbola equilátera
Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de −45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:
ecuación
hipérbola equilátera
Si efectuamos un giro de 45° en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:
ecuación
La ecuación ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y focos.
Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y como además el punto A pertenece a la curva, tendremos:
solución
solución
solución
solución
solución
solución
solución
solución
solución
solución

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