Comentario sobre basta de historias

Graficar una Elipse (parte 2 de 2)

Graficar una Elipse (parte 1 de 2)

Elipse

La Elipse i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).  ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento  se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE.  iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.   Si el segmento  es mayor que el segmento  , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.      fig. 6.2.1. Observaciones:  i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.).  ii. Nótese también que como , se sigue que(teorema de Pitágoras).         fig. 6.2.2. 6.2.1. Ecuaciones Analíticas de la Elipse    Caso 1. Elipses con focos. F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0  Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0)  Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)     TEOREMA:  La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por:   (1)                                             fig. 6.2.3.                                                     fig. 6.2.4.  Demostración  Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definición ique , o equivalentemente,(fórmula de distancia entre dos puntos)  Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:   Simplificando la última igualdad se llega a:    Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:    La cual se reduce a:    Recordando además que  y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente :  que corresponde a la ecuación pedida.      Caso 2. Elipses con focos F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0  Eje mayor: Longitud 2a (a > 0)  Eje menor: Longitud 2b (b > 0)    TEOREMA:  La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:    (2)  Demostración:  Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.  NOTA:  Nótese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio a.   Caso 3. (Caso General).   Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los  dos  casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en:   (3)  Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k)  Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)        fig. 6.2.5.                     (a)   (x-h)2 + (y-k)2                                                                 (b) (x-h)2 + (y-k)2                                a2            b2                                                                                    b2            a2   Observaciones:  i. La ecuación (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.  ii. Si a > b, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x (fig. 6.2.5. a).  Si b > a, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y (fig. 6.2.5. b).    6.2.2. Construcción de la Elipse   Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse.    Construcción 1  Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F’. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida. (fig. 6.2.6.)      fig. 6.2.6. Construcción 2  Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por , con a > b.  Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados círculos directores, que son círculos concéntricos , con centro en 0, uno de radio   y el otro de radio  . (Ver fig. 6.2.7.)      fig. 6.2.7. Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).  Se puede afirmar que el punto M está en la elipse de ecuación .  En efecto, basta demostrar que .  Para ello, nótese que:      Sumando miembro a miembro las últimas igualdades, se concluye que

Ecuacion y Grafica de una Hiperbola (Parte 2 de 2)

Ecuacion y Grafica de una Hiperbola (Parte 1 de 2)

Hiperbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la hipérbola

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario

Es la mediatriz del segmento FF .

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices

Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento  de longitud 2c.

Eje mayor

Es el segmento  de longitud 2a.

Eje menor

Es el segmento  de longitud 2b.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas

Son las rectas de ecuaciones: 

Relación entre los semiejes

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

Ecuación reducida de la hipérbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(−c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y considerando que , llegamos a:

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x² - 16y² = 144.

Ecuación reducida de la hipérbola con los focos en el eje OY

F'(0, −c) y F(0, c)

La ecuación será:

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

Ecuación de la hipérbola

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola es C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x₀+c, y₀) y F'(x₀− c, y₀). Y la ecuación de la hipérbola será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x₀, y₀+ c) y F'(x₀, y₀ − c). Y la ecuación de la hipérbola será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

Ecuación de la hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es:

Las asíntotas tienen por ecuación:

, 

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

La excentricidad es: 

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de −45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

Si efectuamos un giro de 45° en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:

La ecuación  representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y focos.

Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y como además el punto A pertenece a la curva, tendremos: